高效素數(shù)判斷算法算法概述

此算法將其他博主對基本素數(shù)算法的一些改進(jìn)進(jìn)行了整合，其中主要整合了如下三條規(guī)則：

1.大于3的素數(shù)一定在6的倍數(shù)前一個或后一個（如素數(shù)37在36的后面）

2.要判斷n是否為素數(shù)，只需要讓n從2開始，依次除到根號n即可

3.在進(jìn)行“讓n從2開始，依次除到根號n”過程中，若n除以2的余數(shù)不為0，可以直接跳過[2, sqrt(n)]里面的所有偶數(shù)

博主語文素養(yǎng)不高，表達(dá)不是很準(zhǔn)確，在后面會對這三條規(guī)則進(jìn)行解釋。

規(guī)則詳解

1.大于3的素數(shù)一定在6的倍數(shù)前一個或后一個（如素數(shù)37在36的后面）

數(shù)學(xué)證明：

任意一個整數(shù)n可以表示為n = 6a + b ( 0 <= b <= 5, a >= 0 )，接下來依次講當(dāng)n等于0到5的情況，以對此結(jié)論進(jìn)行證明：

當(dāng)n = 6a + 0 = 6a時，n有一個不為1及其本身的因數(shù)（素數(shù)判斷條件）6，此類數(shù)不為素數(shù)

當(dāng)n = 6a + 2 = 2( 3a + 1 )時，n有一個不為1及其本身的因數(shù)（素數(shù)判斷條件）2，此類數(shù)不為素數(shù)

當(dāng)n = 6a + 3 = 3( 2a + 1 )時，同上，有一因數(shù)3，此類數(shù)也不為素數(shù)

當(dāng)n = 6a + 4 = 2( 3a + 2 )時，有一因數(shù)2， 此類數(shù)也不為素數(shù)

而當(dāng)n = 6a + 1 或 n = 6a + 5時，不能絕對確定n是否為素數(shù)，需要考慮a的取值，顯然此時的數(shù)值n就是分布在6的倍數(shù)前一個或后一個

總結(jié)：大于3的素數(shù)一定分布在6的倍數(shù)前后

此規(guī)則可以直接對素數(shù)進(jìn)行初步篩選，不符合此規(guī)則的數(shù)可直接判定為非素數(shù)，直接減少了2/3的運(yùn)算量，效率提高肉眼可見 注意小于等于3的素數(shù)(2, 3)需要另外判斷

2.要判斷n是否為素數(shù)，只需要讓n從2開始，依次除到根號n即可

最基本的素數(shù)判斷方法是：讓n從2開始除，依次除到n - 1，如果每次除出來的結(jié)果余數(shù)皆不為0，那么此數(shù)n即為素數(shù)實(shí)際上并不需要從除以[2, n - 1]區(qū)間的所有整數(shù)，只需除以[2, sqrt(n)]

3.在進(jìn)行讓n除以[2, sqrt(n)]區(qū)間內(nèi)的所有整數(shù)操作時，如果2不是n的一個因數(shù)，那么之后可以不判斷[2, sqrt(n)]區(qū)間的所有偶數(shù)

數(shù)學(xué)證明：當(dāng)n/2除不盡時，n除以[2, sqrt(n)]區(qū)間內(nèi)的所有偶數(shù)都除不盡

因此如果n不能將2除盡，那么之后的偶數(shù)一樣除不盡，可以直接不除如果將2除盡了，n就不是素數(shù)，直接排除如果沒有將2除盡，之后的計算量直接減半，肉眼可見的效率提升

算法時間復(fù)雜度復(fù)雜度

1.最基礎(chǔ)的算法：也就是讓n從2開始判斷，一直到n-1

若遇到的數(shù)是素數(shù)時，此時需要進(jìn)行n-2次判斷當(dāng)遇到的不是素數(shù)時，要進(jìn)行a（2<a<n-2)次判斷也就是說時間復(fù)雜度為n

2.改進(jìn)后的算法：

根據(jù)規(guī)則二，判斷素數(shù)只要從[2，sqrt(n)]即可，此時復(fù)雜度為sqrt(n)根據(jù)規(guī)則3，無論如何都可以不判斷2之后的偶數(shù)（當(dāng)n大于2，當(dāng)n除盡2時，n不為素數(shù)，之后不需要判斷，如果n除不盡2時，之后的偶數(shù)不要判斷）假設(shè)n可以除盡2和不可以除盡2概率相等，那此時復(fù)雜度為sqrt(n)/4根據(jù)規(guī)則一，只有1/3的數(shù)要進(jìn)行判斷，此時復(fù)雜度為sqrt(n)/12也就是說時間復(fù)雜度為sqrt(n)/12

在計算過程中做出的假設(shè)以及計算過程并不那么嚴(yán)謹(jǐn)，此結(jié)果僅供參考

Python代碼實(shí)現(xiàn)

def primeJudge(n): #先將數(shù)分為三類， 小于等于1，大于1小于5，和大于等于5 #非整數(shù)統(tǒng)統(tǒng)不是素數(shù) if not isinstance(n, int): return False #小于1等于的都不是素數(shù) if n <= 1: return False #大于1小于5 elif n == 2 or n == 3: return True #大于等于5 elif n >= 5: #先判斷是否在6的附近 if n % 6 == 5 or n % 6 == 1: #再判斷是否可以將2除盡 #可以的話不是素數(shù) if n % 2 == 0: return False else: #不可除盡2，直接跳過所有偶數(shù) for i in range(3, int(sqrt(n) + 1), 2): if n % i == 0: return False #經(jīng)過篩選即為素數(shù) return True #不在6的附近不是素數(shù) else: return False

以上就是python高效的素數(shù)判斷算法的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于python素數(shù)算法的資料請關(guān)注好吧啦網(wǎng)其它相關(guān)文章！